微分積分例

$\ln (\csc (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ の因数を並べ替えます。

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

ステップ 6.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

ステップ 6.3

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

ステップ 6.4

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

ステップ 6.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

ステップ 6.4.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

ステップ 6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

ステップ 6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 6.5

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 6.5.2

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

ステップ 6.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

ステップ 6.5.4

式を書き換えます。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 6.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 6.7

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$- \cot (x)$

微分積分 例

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