微分積分例

$y = (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$

ステップ 1

$f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ および $g (x) = e^{- 7 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 7 x$ とします。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 7 x$ で置き換えます。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 7$ に $1$ をかけます。

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 3.3.2

$- 7$ を $(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$ の左に移動させます。

$- 7 \cdot ((5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

ステップ 3.4

総和則では、 $5 x^{2} - 10 x + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

ステップ 3.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

ステップ 3.7

$2$ に $5$ をかけます。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

ステップ 3.8

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

ステップ 3.10

$- 10$ に $1$ をかけます。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

ステップ 3.11

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + 0)$

ステップ 3.12

$10 x - 10$ と $0$ をたし算します。

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(- 7 (5 x^{2}) - 7 (- 10 x) - 7 \cdot 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$5$ に $- 7$ をかけます。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

ステップ 4.4.2

$- 10$ に $- 7$ をかけます。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

ステップ 4.4.3

$- 7$ に $10$ をかけます。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

ステップ 4.4.4

$- 10$ を $e^{- 7 x}$ の左に移動させます。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) - 10 \cdot e^{- 7 x}$

ステップ 4.4.5

$70 x e^{- 7 x}$ と $e^{- 7 x} (10 x)$ をたし算します。

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ステップ 4.4.5.1

$e^{- 7 x}$ を移動させます。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} + 10 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

ステップ 4.4.5.2

$70 x e^{- 7 x}$ と $10 x e^{- 7 x}$ をたし算します。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

ステップ 4.4.6

$- 70 e^{- 7 x}$ から $10 e^{- 7 x}$ を引きます。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$

ステップ 4.5

項を並べ替えます。

$- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$

ステップ 4.6

$- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$ の因数を並べ替えます。

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$

微分積分 例

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