微分積分例

$y = {(\arctan (5 x))}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \arctan (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\arctan (5 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (5 x)$ で置き換えます。

$2 \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$2 \arctan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\arctan (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $5 (x)$ に当てはめます。

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}} \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 3.2.3

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}}$ と $\arctan (5 x)$ をまとめます。

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$5$ と $\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{5 (2 \arctan (5 x))}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 3.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{10 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$

微分積分 例

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