微分積分例

$x \arctan (x)$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$x$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

ステップ 3.3

$\arctan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

ステップ 4

$\arctan (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\arctan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.2

$x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例