微分積分例

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 x}{x + 3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 x}{x + 3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{2 x}{x + 3}$ で割ります。

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{x + 3}{2 x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x + 3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ です。

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ と $\frac{x + 3}{2 x}$ をまとめます。

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

ステップ 3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

ステップ 4

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.3

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6

項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6.5

$\frac{x + 3}{x}$ に $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6.6

$3$ を $x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6.7

$x + 3$ と ${(x + 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.7.1

$x + 3$ を $3 (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 5.6.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.7.2.1

$x + 3$ を $x {(x + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

ステップ 5.6.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

ステップ 5.6.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{x (x + 3)}$

微分積分 例

微分積分例