微分積分例

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{6 - x}{6 + x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{6 - x}{6 + x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{6 - x}{6 + x}$ で割ります。

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

ステップ 3

$\frac{6 + x}{6 - x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

ステップ 4

$f (x) = 6 - x$ および $g (x) = 6 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $6 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.6.2

$- 1$ を $6 + x$ の左に移動させます。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.6.3

$- 1 (6 + x)$ を $- (6 + x)$ に書き換えます。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.7

総和則では、 $6 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.8

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.11

分数をまとめます。

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ステップ 5.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

ステップ 5.11.2

$\frac{6 + x}{6 - x}$ に $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$6 + x$ を $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.3.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.3.1.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.3.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.3.2

$- 6 - x - 6 + x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.3.2.1

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.3.2.2

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.3.3

$- 6$ から $6$ を引きます。

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$

微分積分 例

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