微分積分例

$y = \frac{x^{2}}{5 x^{6} - 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 5 x^{6} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(5 x^{6} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 x^{6} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $5 x^{6} - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (5 x^{6} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $5 x^{6} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{6}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

$6$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + 0)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$30 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$30$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{2} x^{5}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{5}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 (x^{5} x^{2})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{5 + 2}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$5$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 (5 x^{6}) + 2 \cdot - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (5 x^{6}) x + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

指数を足して $x^{6}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (5 (x \cdot x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.2

$x$ に $x^{6}$ をかけます。

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ステップ 4.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (5 (x^{1} x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (5 x^{1 + 6}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.1.3

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{2 (5 x^{7}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 x^{7} + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{10 x^{7} - 2 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$10 x^{7}$ から $30 x^{7}$ を引きます。

$\frac{- 20 x^{7} - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$2 x$ を $- 20 x^{7} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$2 x$ を $- 20 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$2 x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$2 x$ を $2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 10 x^{6} - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- 10 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1 (1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- (10 x^{6}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- (10 x^{6} + 1)$ を $- 1 (10 x^{6} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- 1 (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 x (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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