微分積分例

$y = \frac{7^{x}}{\log_{7} (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 7^{x}$ および $g (x) = \log_{7} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\log_{7} (x) \frac{d}{d x} [7^{x}] - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 2

$a$ = $7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 3

$x$ に関する $\log_{7} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (7)}$ です。

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 4

$\frac{1}{x \ln (7)}$ と $7^{x}$ をまとめます。

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.1.2

$\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$7^{x}$ を $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$7^{x}$ を $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x)$ で因数分解します。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.2

$7^{x}$ を $- \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ で因数分解します。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.3

$7^{x}$ を $7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})$ で因数分解します。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.2

$\ln (7) \log_{7} (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ を掛けます。

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) \cdot \frac{x \ln (7)}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.3

$\ln (7) \log_{7} (x)$ と $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ をまとめます。

$\frac{7^{x} (\frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7^{x} \frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))$ を掛けます。

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ステップ 5.2.5.1.1

$\ln (7)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.1.2

$\ln (7)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x {\ln (7)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x \ln^{2} (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.2.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{7^{x} \frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.3

$7^{x}$ と $\frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)} \cdot \frac{1}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.5

まとめる。

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.6

$7^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

ステップ 5.7

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7^{x} (x \ln^{2} (7) \log_{7} (x) - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

微分積分 例

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