微分積分例

$y = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1

$f (x) = {(x + 1)}^{3}$ および $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0)) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 4.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

ステップ 4.5

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 8.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

ステップ 9

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

ステップ 10

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ と ${(x + 1)}^{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

ステップ 11

$x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

ステップ 12

$x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

ステップ 13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

ステップ 14

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

ステップ 15

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$ を積として書き換えます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 16

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分子を簡約します。

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ステップ 17.1.1

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ を $x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 17.1.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ と $6$ を並べ替えます。

$\frac{6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ を $6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.1.3

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ を $- 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.1.4

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.2

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{1} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.3

簡約します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x - (x + 1))}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1 \cdot 1)}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1)}{2 x^{3}}$

ステップ 17.1.6

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

ステップ 17.2

項をまとめます。

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ステップ 17.2.1

$3$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

ステップ 17.2.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.3

指数を足して $x^{3}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 17.2.3.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

ステップ 17.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

ステップ 17.2.3.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 17.2.3.4

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 17.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 17.2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 17.2.3.6.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

ステップ 17.2.3.6.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例