微分積分例

$y = {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ を $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}]$

ステップ 1.2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (5 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ で置き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (5 x)$ とします。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (5 x)$ で置き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 5

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ を $\csc (5 x)$ に変換します。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $5 x$ とします。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 6.2

$u_{3}$ に関する $\sin (u_{3})$ の微分係数は $\cos (u_{3})$ です。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 7.3.2

$5$ を $\csc (5 x) \cos (5 x)$ の左に移動させます。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 8

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{1}{x})$

ステップ 9

$\ln (\sin (5 x))$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 10.2

項をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$5$ を $e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)$ の左に移動させます。

$5 \cdot (e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)) \csc (5 x) \cos (5 x) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 10.2.2

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}$ と $\frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$ をまとめます。

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x) \csc (5 x) \cos (5 x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \cos (5 x) \csc (5 x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$

微分積分 例

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