微分積分例

$y = {(\ln (x))}^{\cos (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(\ln (x))}^{\cos (x)}$ を $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}]$

ステップ 1.2

$\cos (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x) \ln (\ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x) \ln (\ln (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x) \ln (\ln (x))$ で置き換えます。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (\ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 5

$\frac{1}{\ln (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 7

$\frac{\cos (x)}{\ln (x)}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

ステップ 9.2

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}$ と $\frac{\cos (x)}{\ln (x) x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x)) (- \sin (x))$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$- e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \sin (x) \ln (\ln (x)) + \frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x}$

微分積分 例

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