微分積分例

$y = \frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$

ステップ 1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$ です。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = 1 - \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 9

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 10.2

$1 - \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 10.3

$\frac{3}{2}$ に $\frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{3 (- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- \cos^{2} (x)) + 3 (1 \sin (x)) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.3.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 (1 \sin (x)) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.1.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.1.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 11.3.1.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- {\sin (x)}^{1 + 1})}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) - 3 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.2

$- 3 \sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.3

$- 3$ を $- 3 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.4

$- 3$ を $- 3 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.5

$- 3$ を $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.6

項を並べ替えます。

$\frac{- 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 3 \cdot 1 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.3.8

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.4

$3$ を $- 3 + 3 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 11.4.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.4.2

$3$ を $3 \cdot - 1 + 3 \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (1) + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.6

$- 1$ を $\sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.7

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1 (1 - \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 11.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

微分積分 例

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