微分積分例

$y = \frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 \ln (x + 3)}{x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 3)}{x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x + 3)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$2 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$2 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} (1 + 0) - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} \cdot 1 - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.5.2

$\frac{x^{2}}{x + 3}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6

$\frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$2 (\frac{x + 3}{x + 3} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

まとめる。

$2 \frac{(x + 3) (\frac{x^{2}}{x + 3} - \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 7.3

$x + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{(x + 3) \frac{x^{2}}{x + 3} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 7.3.2

式を書き換えます。

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- \ln (x + 3) (2 x))}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 9

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 9.2

$2$ と $\frac{x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x)}{(x + 3) x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2 (x^{2} + (x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{(x + 3) x^{4}}$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- 2 \ln (x + 3) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (x + 3)$ を簡約します。

$\frac{2 x^{2} + 2 ((x + 3) (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (x (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) + 3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.4

$3 (- \ln ({(x + 3)}^{2}) x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 (\ln ({(x + 3)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.4.2

$\ln ({(x + 3)}^{2})$ と $- 3$ を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.4.3

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \cdot \ln ({(x + 3)}^{2})$ を簡約します。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x (\ln ({(x + 3)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.5.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.5.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5.2

${({(x + 3)}^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 3}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.5.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.7

$2 (- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 (x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.7.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln ({(x + 3)}^{2})$ を簡約します。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) + 2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.8

$2 (- \ln ({(x + 3)}^{6}) x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 (\ln ({(x + 3)}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.8.2

$\ln ({(x + 3)}^{6})$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.8.3

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \cdot \ln ({(x + 3)}^{6})$ を簡約します。

$\frac{2 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2})) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.9.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 3)}^{2})}^{2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.2

${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{2 \cdot 2}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({({(x + 3)}^{6})}^{2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.3

${({(x + 3)}^{6})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.9.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{6 \cdot 2}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.1.9.3.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.3.2

$2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x \cdot x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.4

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1} x^{4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{1 + 4} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.4.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.5

$x$ を $2 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x) - x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4}) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.5.2

$x$ を $- x^{2} \ln ({(x + 3)}^{4})$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) - x \ln ({(x + 3)}^{12})}{x^{5} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.5.3

$x$ を $- x \ln ({(x + 3)}^{12})$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.5.4

$x$ を $x (2 x) + x (- x \ln ({(x + 3)}^{4}))$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.5.5

$x$ を $x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4})) + x (- \ln ({(x + 3)}^{12}))$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{5} + 3 x^{4}}$

ステップ 10.6

$x^{4}$ を $x^{5} + 3 x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

ステップ 10.6.2

$x^{4}$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

ステップ 10.6.3

$x^{4}$ を $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x - x \ln ({(x + 3)}^{4}) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

ステップ 10.7

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 3)}^{4})$ を展開します。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - \ln ({(x + 3)}^{12}))}{x^{4} (x + 3)}$

ステップ 10.8

$12$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x + 3)}^{12})$ を展開します。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x^{4} (x + 3)}$

ステップ 10.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1

$x$ を $x^{4} (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

ステップ 10.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3)))}{x (x^{3} (x + 3))}$

ステップ 10.9.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x - x (4 \ln (x + 3)) - (12 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

ステップ 10.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 1 \cdot 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

ステップ 10.10.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

ステップ 10.10.3

$2$ を $2 x - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) - 4 x \ln (x + 3) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

ステップ 10.10.3.2

$2$ を $- 4 x \ln (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) - 12 \ln (x + 3)}{x^{3} (x + 3)}$

ステップ 10.10.3.3

$2$ を $- 12 \ln (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

ステップ 10.10.3.4

$2$ を $2 (x) + 2 (- 2 x \ln (x + 3))$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

ステップ 10.10.3.5

$2$ を $2 (x - 2 x \ln (x + 3)) + 2 (- 6 \ln (x + 3))$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2 x \ln (x + 3) - 6 \ln (x + 3))}{x^{3} (x + 3)}$

微分積分 例

微分積分例