微分積分例

$y = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$ を ${(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{x} + e^{- x}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{x} + e^{- x}$ で置き換えます。

$2 (- {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

ステップ 3

和の法則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 ({(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 6.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 6.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 7.3

$- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$ の因数を並べ替えます。

$- (e^{x} - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$(- e^{x} - - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.5

$- - e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(- e^{x} + 1 e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.5.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$(- e^{x} + e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.6

$- e^{x} + e^{- x}$ に $\frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(- e^{x} + e^{- x}) \cdot 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.7

$2$ を $- e^{x} + e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (- e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.8

$- 1$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (e^{x}) + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.9

$- 1$ を $e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (e^{x}) - 1 (- e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.10

$- 1$ を $- (e^{x}) - 1 (- e^{- x})$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.11

$- (e^{x} - e^{- x})$ を $- 1 (e^{x} - e^{- x})$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 7.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例