微分積分例

$y = \sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{a x}$ を ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $a x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.3

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.8

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.10

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.11

$\frac{1}{2}$ と ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.12

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $a$ をまとめます。

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 2.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{a x}$ を ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.3

$\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(a x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $a x$ とします。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x]))$

ステップ 3.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

ステップ 3.5.3

$u_{3}$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

ステップ 3.6

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.8

${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.12

分子を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.13

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1)))$

ステップ 3.14

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a))$

ステップ 3.15

$\frac{1}{2}$ と ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a))$

ステップ 3.16

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $a$ をまとめます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2})$

ステップ 3.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.18

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(a x)}^{- 1}$ をまとめます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a {(a x)}^{- 1}}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(a x)}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

ステップ 3.20

共通因数を約分します。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

ステップ 3.21

式を書き換えます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)})$

ステップ 3.22

$a$ と $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$ をまとめます。

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $a x$ に当てはめます。

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

ステップ 4.2

積の法則を $a x$ に当てはめます。

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $a^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

ステップ 4.3.2

指数を足して $a$ に $a^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$a$ に $a^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

ステップ 4.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

ステップ 4.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

ステップ 4.3.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 4.3.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.3.8

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $a^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.3.9

指数を足して $a$ に $a^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.9.1

$a$ に $a^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1.1

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.3.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.3.9.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.3.9.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.3.9.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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