微分積分例

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{3} x^{3})$

ステップ 1

$x^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{3}}{3})] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - \frac{x^{3}}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \frac{x^{3}}{3}$ とします。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x - \frac{x^{3}}{3}$ で置き換えます。

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x - \frac{x^{3}}{3}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{3}}{3}] + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.2

総和則では、 $x - \frac{x^{3}}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ です。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.4

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - \frac{1}{3} (3 x^{2})) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6

項を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6.2

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3}{3} x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6.3

$\frac{- 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- 3 x^{2}}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6.4

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 + \frac{- x^{2}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.6.4.2.4

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.7

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} (1 - x^{2}) + \ln (x - \frac{x^{3}}{3}) (4 x^{3})$

ステップ 4.8

項を並べ替えます。

$(1 - x^{2}) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{3}}{3}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{3}}{3})$

微分積分 例

微分積分例