微分積分例

$y = x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

ステップ 1

総和則では、 $x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.4

$x^{4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.5

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.5.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 2.5.2.5

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

ステップ 3.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

ステップ 3.5

$\frac{- 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

ステップ 3.6

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- x^{2}}{1}$

ステップ 3.6.2.4

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - x^{2}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$x^{3} - x^{2} + 4 x^{3} \ln (x)$

微分積分 例

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