微分積分例

$y = x^{\ln (4 x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{\ln (4 x)}$ を $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

ステップ 1.2

$\ln (4 x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\ln (4 x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (4 x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (4 x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

ステップ 3

$f (x) = \ln (4 x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

ステップ 5

$\ln (4 x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

ステップ 6

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 6.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{4 x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 7.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7.3

項を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$4$ と $\frac{\ln (x)}{4 x}$ をまとめます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3.2.2

式を書き換えます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

ステップ 7.5

$\frac{\ln (x)}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ と $\frac{\ln (4 x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 8.2.2

$e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ と $\frac{\ln (x)}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$

微分積分 例

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