微分積分例

$y = x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1

総和則では、 $x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ です。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 3.5

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \cos (x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 5.2.2

$\sin (x) (2 x)$ から $2 x \sin (x)$ を引きます。

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ステップ 5.2.2.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 5.2.2.2

$2 x \sin (x)$ から $2 x \sin (x)$ を引きます。

$x^{2} \cos (x) + 0 + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 5.2.3

$x^{2} \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

ステップ 5.2.4

$2 \cos (x)$ から $2 \cos (x)$ を引きます。

$x^{2} \cos (x) + 0$

ステップ 5.2.5

$x^{2} \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \cos (x)$

微分積分 例

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