微分積分例

$y = {\sin (x)}^{\tan (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\sin (x)}^{\tan (x)}$ を $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}]$

ステップ 1.2

$\tan (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \tan (x) \ln (\sin (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x) \ln (\sin (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x) \ln (\sin (x))$ で置き換えます。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

ステップ 3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = \ln (\sin (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 5

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 7

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x)) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

ステップ 8.2

括弧を削除します。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \tan (x) \csc (x) \cos (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x)$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\ln (\sin (x))$ をまとめます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.3

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.4

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.4.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ と $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)} \cos (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.4.2

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.6

まとめる。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.7

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.7.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.8

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.8.2

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.9

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\ln (\sin (x))$ をまとめます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.11

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.12

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.13

1のすべての数の累乗は1です。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.14

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

ステップ 8.4.15

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)}$ と $\ln (\sin (x))$ をまとめます。

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

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ステップ 8.5.1

分数を分解します。

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.5.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.5.3

$\ln (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.5.4.1

分数を分解します。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.5.4.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8.5.4.3

$\ln (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

微分積分 例

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