微分積分例

$y = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \sec^{2} (x)$ および $g (x) = \tan^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x)$ とします。

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 3

$2$ を $\sec^{2} (x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \sec^{2} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 5

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (x)}^{2 + 2} \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

ステップ 6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (x)$ とします。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

ステップ 7

$2$ を $\tan^{2} (x)$ の左に移動させます。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \cdot \tan^{2} (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 8

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 9

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec (x) \sec (x)$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) \sec (x)$

ステップ 11

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec (x) \sec (x)$

ステップ 12

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x))$

ステップ 13

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

ステップ 14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}$

ステップ 15

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

微分積分 例

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