微分積分例

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ および $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x^{4} + 5 x$ とします。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{9}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x^{4} + 5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 6.2

$9$ から $7$ を引きます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 7

$\frac{9}{7}$ と ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

ステップ 8

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ に $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ をかけます。

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ を分母に移動させます。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

指数を足して ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ に ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1

${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ を移動させます。

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 10.1.4

$- 2$ と $9$ をたし算します。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 10.1.5

$7$ を $7$ で割ります。

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 10.2

$7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

ステップ 11

総和則では、 $3 x^{4} + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 12

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 13

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 14

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 15

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

ステップ 17

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

ステップ 18.2

項をまとめます。

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ステップ 18.2.1

$3$ に $7$ をかけます。

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

ステップ 18.2.2

$5$ に $7$ をかけます。

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

ステップ 18.3

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ の因数を並べ替えます。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

ステップ 18.4

$7 x$ を $21 x^{4} + 35 x$ で因数分解します。

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ステップ 18.4.1

$7 x$ を $21 x^{4}$ で因数分解します。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

ステップ 18.4.2

$7 x$ を $35 x$ で因数分解します。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

ステップ 18.4.3

$7 x$ を $7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ で因数分解します。

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

ステップ 18.5

$12 x^{3} + 5$ に $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ をかけます。

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

ステップ 18.6

$9$ を $12 x^{3} + 5$ の左に移動させます。

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

微分積分 例

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