微分積分例

$y = \frac{\ln (x)}{4 x + 7}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x + 7) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 3.5

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + 0)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 4}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{4 + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$7$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{4 + \frac{7}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

まとめる。

$\frac{x (4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x \cdot 4 + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3.5

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{4 x + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x \ln (x^{4}) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- x \ln (x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x^{4})) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.8

$7$ を $- 1 (- 7)$ に書き換えます。

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ を $- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

ステップ 4.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x \ln (x^{4}) - 4 x - 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例