微分積分例

$y = \arctan ({(3 x)}^{2})$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{2})]$

ステップ 1.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{2} x^{2})]$

ステップ 1.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (9 x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 9 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $9 x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(9 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$9$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + {(9 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $9 (x^{2})$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + 9^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1 + 81 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 3.2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + 81 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 3.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

ステップ 3.3

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$9$ と $\frac{1}{1 + 81 x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} (2 x)$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$2$ と $\frac{9}{1 + 81 x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 9}{1 + 81 x^{4}} x$

ステップ 3.6.2

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{18}{1 + 81 x^{4}} x$

ステップ 3.6.3

$\frac{18}{1 + 81 x^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{18 x}{1 + 81 x^{4}}$

ステップ 3.6.4

項を並べ替えます。

$\frac{18 x}{81 x^{4} + 1}$

微分積分 例

微分積分例