微分積分例

$y = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

ステップ 2.4

項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

ステップ 2.4.2

$- 2$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

ステップ 2.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

ステップ 2.4.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.4.1

$2$ を $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

ステップ 2.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

ステップ 2.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

ステップ 2.4.4.2.4

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ を $1$ で割ります。

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

ステップ 2.4.5

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

微分積分 例

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