微分積分例

$y = \ln (\frac{3}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{3}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{3}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{x}$ で割ります。

$1 \frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 3

$\frac{x}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ と $\frac{x}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 5.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 5.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 5.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- x^{- 2})$

ステップ 7

$x$ を $1$ 乗します。

$- (x^{1} x^{- 2})$

ステップ 8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{1 - 2}$

ステップ 9

$1$ から $2$ を引きます。

$- x^{- 1}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x}$

微分積分 例

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