微分積分例

$y = \ln (\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}$ を ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x - 1}{x + 1}$ とします。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x - 1}{x + 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

ステップ 9

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10

微分します。

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ステップ 10.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.4

式を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.8

分数をまとめます。

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ステップ 10.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 10.8.3

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 10.8.4

$3$ を ${(x + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 11.2

積の法則を $\frac{x - 1}{x + 1}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

ステップ 11.3

積の法則を $\frac{x + 1}{x - 1}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.5

項をまとめます。

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ステップ 11.5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ で割ります。

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.5.2

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.5.4

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{0 + 1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.5.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 11.5.7

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}}$ に $\frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.8

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.9

指数を足して ${(x + 1)}^{2}$ に ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.9.1

${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 1)}^{2}) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.9.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.9.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.9.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.9.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.9.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.9.6.2

$- 2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.5.10

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 11.5.11

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.11.1

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.11.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.11.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.12

${(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})$ を簡約します。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.13

$2$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.14

$3$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 11.5.15

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}$

ステップ 11.5.16

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.16.1

指数を足して ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ に ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.16.1.1

${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{2}{3 (x - 1) ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

ステップ 11.5.16.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

ステップ 11.5.16.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{3}}}$

ステップ 11.5.16.1.4

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 11.5.16.1.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}}$

ステップ 11.5.16.2

$3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{2}{3 (x - 1) (x + 1)}$

ステップ 11.6

項を並べ替えます。

$\frac{2}{3 (x + 1) (x - 1)}$

微分積分 例

微分積分例