微分積分例

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{x + 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{x + 1}$ で割ります。

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

ステップ 3

$\frac{x + 1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

ステップ 4

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6.5

$\frac{x + 1}{x}$ に $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6.6

$x + 1$ と ${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.6.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.6.2.1

$x + 1$ を $x {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

ステップ 5.6.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

ステップ 5.6.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x (x + 1)}$

微分積分 例

微分積分例