微分積分例

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - x e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 - x e^{- x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 - x e^{- x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - x e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

ステップ 5.5

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

ステップ 6.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

ステップ 6.3

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ の因数を並べ替えます。

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

ステップ 6.4

$x e^{- x} - e^{- x}$ に $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ をかけます。

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

ステップ 6.5

$e^{- x}$ を $x e^{- x} - e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 6.5.1

$e^{- x}$ を $x e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

ステップ 6.5.2

$e^{- x}$ を $- e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

ステップ 6.5.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$

微分積分 例

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