微分積分例

$y = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x - 1}{x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x - 1}{x + 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x - 1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x - 1}{x + 1}$ で割ります。

$1 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 3

$\frac{x + 1}{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

ステップ 4

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

分数をまとめます。

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ステップ 5.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.8.3

$\frac{x + 1}{x - 1}$ に $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (x + 1 - (x - 1))}{(x - 1) {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x + 1$ を $(x - 1) {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 1 - (x - 1))}{(x + 1) ((x - 1) (x + 1))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x + 1 - (x - 1))}{(x + 1) ((x - 1) (x + 1))}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x + 1 - x - - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 1 - - 1}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 7.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - - 1}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 7.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

微分積分 例

微分積分例