微分積分例

$y = \ln (\tan (3 x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tan (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (3 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\tan (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

ステップ 2

正弦と余弦に関して $\tan (3 x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ で割ります。

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

ステップ 4

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ を $\cot (3 x)$ に変換します。

$\cot (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

ステップ 5

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\cot (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\cot (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\cot (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3$

ステップ 6.3.2

$3$ を $\cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ の左に移動させます。

$3 \cdot (\cot (3 x) \sec^{2} (3 x))$

ステップ 6.3.3

$3 \cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ の因数を並べ替えます。

$3 \sec^{2} (3 x) \cot (3 x)$

微分積分 例

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