微分積分例

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$

ステップ 1

総和則では、 $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.10

$\cos (x^{\frac{1}{3}})$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{\sin (x)}$ を ${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \cos (x)$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \cos (x)$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \cos (x)$

ステップ 3.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \cos (x)$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)$

ステップ 3.9

$\frac{1}{3}$ と ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (x)$

ステップ 3.10

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分数を分解します。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ を ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ に変換します。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.3

$\frac{\cos (x)}{3}$ と ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 4.2

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$

微分積分 例

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