微分積分例

$y = 8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(1 - 3 x)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - 3 x)}^{5}] + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = 1 - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 3 x$ とします。

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $1 - 3 x$ で置き換えます。

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $1 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ をたし算します。

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.5

$- 3$ に $5$ をかけます。

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \cdot 1) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.7

$- 15$ に $1$ をかけます。

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} (2 x))$

ステップ 4.9

$2$ を ${(1 - 3 x)}^{5}$ の左に移動させます。

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + 2 \cdot {(1 - 3 x)}^{5} x)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

ステップ 5.2

$- 15$ に $8$ をかけます。

$- 120 (x^{2} ({(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

ステップ 5.3

$2$ に $8$ をかけます。

$- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 ({(1 - 3 x)}^{5} x)$

ステップ 5.4

$8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ を $- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ を $- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4}$ で因数分解します。

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$

ステップ 5.4.2

$8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ を $16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ で因数分解します。

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$

ステップ 5.4.3

$8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ を $8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$ で因数分解します。

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x + 2 (1 - 3 x))$

微分積分 例

微分積分例