微分積分例

$y = \arctan (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

ステップ 2.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

ステップ 2.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.3.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.3.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例