微分積分例

$y = \arcsin (\cos (x))$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 4.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

微分積分 例