微分積分例

$y = 3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 3

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 7

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 7.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 7.3

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

ステップ 8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

ステップ 9

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))) + 3 ((\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

ステップ 10.2

括弧を削除します。

$3 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

分配則を当てはめます。

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

分配則を当てはめます。

$3 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.2.2

分配則を当てはめます。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.2.3

分配則を当てはめます。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.1

$3 \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.1.2

$3 \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.3.1.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.2

$3 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.3.3

$3 \cos (x) \sin (x)$ と $3 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.4

$3$ を $3 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.5

$3$ を $3 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.6

$3$ を $3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.7

項を並べ替えます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.9

$3$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.10

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.11

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.12

分配法則（FOIL法）を使って $(3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.12.1

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.12.2

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

ステップ 10.4.12.3

分配則を当てはめます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.13.1.1

$3 \cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.13.1.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.2

$- 3 \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.13.1.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

ステップ 10.4.13.1.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 10.4.13.2

$3 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 10.4.13.3

$3 \cos (x) \sin (x)$ と $3 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x)$

ステップ 10.4.14

$- 3$ を $- 3 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x)$

ステップ 10.4.15

$- 3$ を $- 3 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$

ステップ 10.4.16

$- 3$ を $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

ステップ 10.4.17

項を並べ替えます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 10.4.18

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1$

ステップ 10.4.19

$- 3$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$

ステップ 10.5

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$3$ から $3$ を引きます。

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

ステップ 10.5.2

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 10.6

$6 \cos (x) \sin (x)$ と $6 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$12 \cos (x) \sin (x)$

微分積分 例

微分積分例