微分積分例

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

ステップ 1

総和則では、 $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x y^{2}$ で置き換えます。

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

ステップ 2.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

ステップ 2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = y + z$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y + z$ とします。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y + z$ で置き換えます。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

ステップ 3.2

総和則では、 $y + z$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ です。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

ステップ 3.4

$z$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $z$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

ステップ 3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

ステップ 3.6

$\frac{1}{y + z}$ に $1$ をかけます。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項をまとめます。

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ステップ 4.1.1

$e^{x y^{2}} (2 x y)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y + z}{y + z}$ を掛けます。

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$

微分積分 例

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