微分積分例

$y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \arccos (x)$

ステップ 1

総和則では、 $x \sqrt{1 - x^{2}} + \arccos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 - x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.4

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.11

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.13

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.15

$0$ から $2 x$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.16

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.17

$- 2$ と $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.18

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.20

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.21

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1

$2$ を $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$x \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.21.2

共通因数を約分します。

$x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.21.3

式を書き換えます。

$x \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.22

分数の前に負数を移動させます。

$x (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.23

$x$ と $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.24

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.25

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{1} x^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.26

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.27

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.28

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.29

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.30

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.31

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.31.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.31.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.31.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.31.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.32

${(1 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 2.33

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\arccos (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\arccos (x)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.7

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ に $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

ステップ 4.1.3.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.1.3.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.1.3.12.2

式を書き換えます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 4.1.5

簡約します。

$\frac{(- 2 x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{1 - x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + 1) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.2

$u = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$u$ から $u$ を引きます。

$\frac{- 2 u x^{2} + 0}{- x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.2.2

$- 2 u x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 u x^{2}}{- x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{- x^{2} + 1}$

ステップ 4.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{- x^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.4.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 4.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 4.6

$- \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 x^{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

微分積分 例

微分積分例