微分積分例

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$

ステップ 1

$x^{2}$ を $x^{2} + 5$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 1.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$5$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 5$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$5$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - \int \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

ステップ 5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$x + C - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x)$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$x + C - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

ステップ 6.2

$x^{2}$ と $5$ を並べ替えます。

$x + C - 5 \int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

ステップ 7

$5$ を ${\sqrt{5}}^{2}$ に書き換えます。

$x + C - 5 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ です。

$x + C - 5 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ と $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ をまとめます。

$x + C - 5 (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

ステップ 9.2

簡約します。

$x - 5 \frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$- 5$ と $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ をまとめます。

$x + \frac{- 5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 9.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x - \frac{5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$x - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$

微分積分 例

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