微分積分例

${(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{3}$

ステップ 1

$f (v) = v^{3}$ および $g (v) = v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ で置き換えます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ です。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

ステップ 2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

ステップ 3

$\frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$5$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $5 v^{- 2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ です。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}])$

ステップ 3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 (- 2 v^{- 3}))$

ステップ 3.3

$- 2$ に $5$ をかけます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 10 v^{- 3})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 v^{- 3} - 3 v^{- 4})$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 \frac{1}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

ステップ 4.2.2

$- 10$ と $\frac{1}{v^{3}}$ をまとめます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{- 10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

ステップ 4.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 \frac{1}{v^{4}})$

ステップ 4.2.5

$- 3$ と $\frac{1}{v^{4}}$ をまとめます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} + \frac{- 3}{v^{4}})$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

ステップ 7

$5$ と $\frac{1}{v^{2}}$ をまとめます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{5}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

微分積分 例

微分積分例