微分積分例

$r = \frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}})$

ステップ 2

$s$ に関する $r$ の微分係数は $r'$ です。

$r'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ です。

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{2}$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $\frac{1}{2 s}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{s}$ を $s^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

ステップ 3.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{2}$ と $s^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

ステップ 3.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $s^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{8}{5}$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $- \frac{8}{5 s^{4}}$ の微分係数は $- \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ です。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{s^{4}}$ を ${(s^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.3

$f (s) = s^{- 1}$ および $g (s) = s^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ は $f' (g (s)) g' (s)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $s^{4}$ とします。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $s^{4}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

ステップ 3.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

ステップ 3.3.5

${(s^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

ステップ 3.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

ステップ 3.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

ステップ 3.3.7

指数を足して $s^{- 8}$ に $s^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.7.1

$s^{3}$ を移動させます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

ステップ 3.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

ステップ 3.3.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 5})$

ステップ 3.3.8

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 4 (\frac{8}{5}) s^{- 5}$

ステップ 3.3.9

$4$ と $\frac{8}{5}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{4 \cdot 8}{5} s^{- 5}$

ステップ 3.3.10

$4$ に $8$ をかけます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5} s^{- 5}$

ステップ 3.3.11

$\frac{32}{5}$ と $s^{- 5}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32 s^{- 5}}{5}$

ステップ 3.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $s^{- 5}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$r' = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

ステップ 5

$r'$ を $\frac{d r}{d s}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d s} = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

微分積分 例

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