微分積分例

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) - 1 (2 x) - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x - 1 (2 x) - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) - 1 (2 x) - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 1 (2 x) - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ を $x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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