微分積分例

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2}$

ステップ 1

$f (x) = 5 x - 7$ および $g (x) = x^{2} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $5 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 + (- (5 x) - - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot x^{2} - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x^{2}) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 - 5 x^{2} \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.6

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.7

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$5 x^{2}$ から $10 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 5 x^{2} - 10 + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 5 x^{2} + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- 5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{2}) + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $14 x$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.8

$- 1$ を $- (5 x^{2}) - (- 14 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.9

$- 10$ を $- 1 (10)$ に書き換えます。

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.10

$- 1$ を $- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.11

$- (5 x^{2} - 14 x + 10)$ を $- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 x^{2} - 14 x + 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

微分積分 例

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