微分積分例

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.3

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.3.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に変換します。

$- \csc^{2} (x)$

微分積分 例

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