微分積分例

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

$x$ を $x^{3} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + 3 x}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x^{2} + 3)$ です。

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.5

$x^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.5.2

$x - 3$ を $1$ で割ります。

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.1.2

$A (x^{2} + 3)$ を $1$ で割ります。

$x - 3 = A (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x - 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$x - 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4

$x^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x)$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + C x$

ステップ 1.6.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.6.6.1

$x$ を移動させます。

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 1.6.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.7

$3 A$ を移動させます。

$x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 3 A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 3 = 3 A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $C = 1$ として書き換えます。

$C = 1$

$0 = A + B$

$- 3 = 3 A$

ステップ 3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

方程式を $3 A = - 3$ として書き換えます。

$3 A = - 3$

$C = 1$

$0 = A + B$

ステップ 3.2.2

$3 A = - 3$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 A = - 3$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

$- 3$ を $3$ で割ります。

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

ステップ 3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 3.3.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 1$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

ステップ 3.4

$0 = - 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $- 1 + B = 0$ として書き換えます。

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

$C = 1$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

ステップ 3.5

連立方程式を解きます。

$B = 1 A = - 1 C = 1$

ステップ 3.6

すべての解をまとめます。

$B = 1, A = - 1, C = 1$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{1}{x} + \frac{1 x + 1}{x^{2} + 3}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

括弧を削除します。

$\frac{- 1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 1}{x^{2} + 3}$

ステップ 5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$

微分積分 例

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