微分積分例

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 6)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 3}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 3) (x + 6)$ です。

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.4

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.5

$x + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.5.2

$3 x - 1$ を $1$ で割ります。

$3 x - 1 = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$3 x - 1 = \frac{A (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6.1.2

$(A) (x + 6)$ を $1$ で割ります。

$3 x - 1 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$3 x - 1 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6.3

$6$ を $A$ の左に移動させます。

$3 x - 1 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6.4

$x + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$3 x - 1 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6.4.2

$(B) (x - 3)$ を $1$ で割ります。

$3 x - 1 = A x + 6 A + (B) (x - 3)$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 3$

ステップ 1.6.6

$- 3$ を $B$ の左に移動させます。

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x - 3 B$

ステップ 1.7

$6 A$ を移動させます。

$3 x - 1 = A x + B x + 6 A - 3 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = 6 A - 3 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$3 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 3$ として書き換えます。

$A + B = 3$

$- 1 = 6 A - 3 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $3 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$- 1 = 6 A - 3 B$ の $A$ のすべての発生を $3 - B$ で置き換えます。

$- 1 = 6 (3 - B) - 3 B$

$A = 3 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$6 (3 - B) - 3 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 = 6 \cdot 3 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$6$ に $3$ をかけます。

$- 1 = 18 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 6 B$ から $3 B$ を引きます。

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

ステップ 3.3

$- 1 = 18 - 9 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $18 - 9 B = - 1$ として書き換えます。

$18 - 9 B = - 1$

$A = 3 - B$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$- 9 B = - 1 - 18$

$A = 3 - B$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ から $18$ を引きます。

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

ステップ 3.3.3

$- 9 B = - 19$ の各項を $- 9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 9 B = - 19$ の各項を $- 9$ で割ります。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{19}{9}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 3 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{19}{9}$ で置き換えます。

$A = 3 - (\frac{19}{9})$

$B = \frac{19}{9}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$3 - (\frac{19}{9})$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$A = 3 \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

ステップ 3.4.2.1.2

$3$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$A = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

ステップ 3.4.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{3 \cdot 9 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

ステップ 3.4.2.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.4.1

$3$ に $9$ をかけます。

$A = \frac{27 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

ステップ 3.4.2.1.4.2

$27$ から $19$ を引きます。

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{8}{9}, B = \frac{19}{9}$

ステップ 4

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{8}{9}}{x - 3} + \frac{\frac{19}{9}}{x + 6}$

微分積分 例

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