微分積分例

$(3 t - 1) {(6 t - 4)}^{- 1}$

ステップ 1

$f (t) = 3 t - 1$ および $g (t) = {(6 t - 4)}^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(3 t - 1) \frac{d}{d t} [{(6 t - 4)}^{- 1}] + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 6 t - 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 t - 4$ とします。

$(3 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $6 t - 4$ で置き換えます。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 t - 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ です。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3.2

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3.5

$- 4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 + 0)) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} \cdot 6) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3.6.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

ステップ 3.7

総和則では、 $3 t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.8

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.10

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.11

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 + 0)$

ステップ 3.12

式を簡約します。

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ステップ 3.12.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} \cdot 3$

ステップ 3.12.2

$3$ を ${(6 t - 4)}^{- 1}$ の左に移動させます。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + 3 \cdot {(6 t - 4)}^{- 1}$

ステップ 3.12.3

項を並べ替えます。

$- 6 {(6 t - 4)}^{- 2} (3 t - 1) + 3 {(6 t - 4)}^{- 1}$

微分積分 例

微分積分例