微分積分例

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

ステップ 1

$\frac{1}{s + k e^{s}}$ を ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (s) = s^{- 1}$ および $g (s) = s + k e^{s}$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ は $f' (g (s)) g' (s)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $s + k e^{s}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $s + k e^{s}$ で置き換えます。

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $s + k e^{s}$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ です。

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

ステップ 3.3

$k$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $k e^{s}$ の微分係数は $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ です。

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ は $a^{s} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

ステップ 5.2

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ の因数を並べ替えます。

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

ステップ 5.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

ステップ 5.5

$- 1 - k e^{s}$ に $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- k e^{s}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

ステップ 5.8

$- 1$ を $- 1 (1) - (k e^{s})$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

ステップ 5.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

微分積分 例

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