微分積分例

$\frac{1 + \ln (t)}{1 - \ln (t)}$

ステップ 1

$f (t) = 1 + \ln (t)$ および $g (t) = 1 - \ln (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 + \ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \ln (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ です。

$\frac{(1 - \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [\ln (t)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 3

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $1 - \ln (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ です。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [- \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \ln (t)$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ です。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (- \frac{d}{d t} [\ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 4.5

掛け算します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + 1 (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$1 + \ln (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 5

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.3.1.1

$- \ln (t) \frac{1}{t}$ と $\ln (t) \frac{1}{t}$ をたし算します。

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + 0}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\frac{1}{t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$\frac{1}{t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{t} + \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 + 1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.4

項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{2}{t} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$\frac{2}{t}$ に $\frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2}{t {(1 - \ln (t))}^{2}}$

微分積分 例

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