微分積分例

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 4}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{r^{2} + 4}$ を ${(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (r) = r$ および $g (r) = {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ は $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 4)}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 4}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 4}$

ステップ 5.2

${(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 4}$

ステップ 6

$f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ および $g (r) = r^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ は $f' (g (r)) g' (r)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r^{2} + 4$ とします。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $r^{2} + 4$ で置き換えます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(r^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(r^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $r$ をまとめます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 4]}{r^{2} + 4}$

ステップ 12

総和則では、 $r^{2} + 4$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [4]$ です。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [4])}{r^{2} + 4}$

ステップ 14

$4$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 4}$

ステップ 15

分数をまとめます。

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ステップ 15.1

$2 r$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 4}$

ステップ 15.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 4}$

ステップ 15.3

$- 2$ と $\frac{r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 4}$

ステップ 15.4

$\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $r$ をまとめます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 16

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 17

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 19

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 20

$2$ を $- 2 r^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 21

共通因数を約分します。

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ステップ 21.1

$2$ を $2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 4}$

ステップ 21.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 21.3

式を書き換えます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 22

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 23

${(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 25

指数を足して ${(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 25.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 25.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 25.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 25.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 4)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 26

${(r^{2} + 4)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{r^{2} + 4 - r^{2}}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 27

$r^{2}$ から $r^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{0 + 4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 28

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$

ステップ 29

$\frac{\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 4}$ を積として書き換えます。

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 4}$

ステップ 30

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{r^{2} + 4}$ をかけます。

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 4)}$

ステップ 31

指数を足して ${(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $r^{2} + 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1

${(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $r^{2} + 4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 31.1.1

$r^{2} + 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 4)}^{1}}$

ステップ 31.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 31.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 31.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 31.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4}{{(r^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例